Mehr zur Mandelbrot-Menge und ein paar Bilder

Die Grafiken werden durch folgende Parameter bestimmt :

Die Koordinaten des Bildes in der komplexen Zahlenebene :

Parameter, die die Rechengenauigkeit regeln bzw. die Einfärbung des Bildes bestimmen :

Alle Grafiken auf dieser Seite wurden mit einer Auflösung von 640x480 Pixeln und einer Farbtiefe von 256 Farben mit dem Programm I_M gerechnet.


Übersichtsbild Mandelbrot-Menge (das "Apfelmännchen")

(Geschwindigkeitsdiagramm)

Xmin Xmax Ymin Ymax Nmax M G
-2.4 0.8 -1.2 1.2 100 80 20.0

Übersicht Mandelbrot-Menge


Die Äquipotentiallinien kommen allerdings bei anderer Einfärbung besser zur Geltung:

Übersicht Mandelbrot-Menge, Geschwindigkeitsdiagramm


Der Hauptkörper der Mandelbrot-Menge besteht aus einer sogenannten Kardioide:

Erläuterung Kardioide

Die Gleichung dieser Kurve lautet (r = 0.25 im Falle der Mandelbrot-Menge):

(x2 + y2) (x2 + y2 - 4rx) - 4r2y2 = 0

oder in Parameterdarstellung:

x = 2r ·cos t(1 + cos t), y = 2r ·sin t(1 + cos t), 0 t 2p

Die Konstruktion der Kardioide kann man sich so verdeutlichen: ein Kreis liegt mit seinem Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems. Auf diesem Kreis wird nun ein weiterer Kreis mit gleichem Radius abgerollt. An diesem zweiten Kreis ist im Punkt P ein "Stift befestigt", der während des Abrollvorgangs eine Spur hinterläßt. Zu Beginn liegt der Stift am Punkt K mit den Koordinaten x = 0, y = 0.25 des ersten Kreises an. Nach einer halben Umdrehung hat P bei x = -0.75, y = 0 seine größte Entfernung vom Ursprung des Koordinatensystems erreicht. Nach einer vollen Umdrehung ist P wieder bei K angelangt und die Kurve ist geschlossen.

Weiter ist der "Kopf" der Mandelbrot-Menge ein Kreis mit Radius 0.25 und dem Mittelpunkt bei x = -1, y = 0.

Mit Kenntnis der Gleichung der Kardioide und des Radius ist es nun möglich, die Rechnungen immens zu beschleunigen. Alle innerhalb der Kardioide und des "Kopfes" liegenden Punkte gehören auf jeden Fall zur Menge. Für diese Punkte braucht die Rückkopplungsgleichung nun nicht extra durchgerechnet zu werden, sondern sie können sofort als zur Menge gehörig eingefärbt werden.


Ausschnittvergrößerung der Mandelbrot-Menge

Xmin Xmax Ymin Ymax Nmax M G
-0.7496875 -0.7296875 0.1439375 0.1589375 1000 700 20.0

Ausschnitt 1 Mandelbrot-Menge


Ausschnittvergrößerung der Mandelbrot-Menge

Xmin Xmax Ymin Ymax Nmax M G
-1.98545273549310 -1.98545273549302 0.000609032943788793 0.000609032943842352 5000 4000 20.0

Ausschnitt 2 Mandelbrot-Menge

Nachfolgend zwei Grafiken zur Rückkopplungsgleichung zn + 1 = zn6 + c :


Übersichtsbild Mandelbrot-Menge z6

Xmin Xmax Ymin Ymax Nmax M G
-1.53 1.53 -1.1475 1.1475 100 80 20.0

Übersicht Mandelbrot-Menge z<sup>6</sup>


Ausschnittvergrößerung aus obigem Bild

Xmin Xmax Ymin Ymax Nmax M G
-0.7496875 -0.7296875 0.1439375 0.1589375 1000 700 20.0

Ausschnitt Mandelbrot-Menge z<sup>6</sup>


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Kai Schröder, 29.11.2000