1845 betrachtete P.F. Verhulst als einer der ersten Wissenschaftler die Entwicklung von Populationen auf mathematischer Basis. Dazu untersuchte er eine Population, die in der n-ten Generation die Größe x_n und in der n + 1 -ten Generation die Größe x_{n + 1} aufweist. Das relative Wachstum W ist dann gegeben durch

w £ 1 :

Die Population wird immer kleiner, bis sie schließlich ausstirbt, und zwar umso schneller, je kleiner w gewählt wird

1 < w < 3 :

Die Population pendelt sich nach mehr oder weniger Iterationen (Generationen) auf einer konstanten Größe ein. Je größer w, desto größer auch die Stärke der Population.

3 £ w £ 3,45 :

Nach einigen Iterationen bilden sich zwei verschiedene stabile Populationsniveaus heraus. Die Population schwankt von einer Generation zur nächsten immer zwischen diesen beiden Werten hin und her. Man spricht in diesem Zusammenhang von einer sogenannten 'Bifurkation'.

3,45 < w £ 3,54 :

Jetzt pendelt die Population nach einigen Generationen immer zwischen vier verschiedenen Werten.

Bei weiterer Vergrößerung von w treten immer mehr stabile Populationsniveaus auf (es tritt jeweils eine Verdoppelung der Niveaus auf), bis im äußersten Fall w = 4 die Populationsgröße alle Werte x_n zwischen 0 und 1 annehmen kann und sich ohne erkennbaren Grund überhaupt keine stabilen Niveaus mehr einstellen. In diesem Zusammenhang spricht man dann von deterministischem Chaos.

Trägt man in Abhängigkeit vom Wachstumsparameter w die Größe der Population nach einer größeren Zahl von Generationen auf, erhält man das sogenannte Feigenbaum-Szenario.

Die Parameter zur Darstellung sind die folgenden:

• P_min, P_max : minimaler (in den Bildern unten) und maximaler (in den Bildern oben) Wert der Größe der Population, die in der Grafik dargestellt werden sollen. 0 £ P_min, wenn P_min = 0 ist die Population ausgestorben. Und P_max £ 1 (ein Wert von 1 für P_max entspricht der maximalen Lebensraum-Kapazität). Es gilt immer : 0 £ P_min < P_max £ 1.
• w_min, w_max : minimaler (in den Bildern links) und maximaler (in den Bildern rechts) Wert des Bereichs des Wachstums-Parameter, der dargestellt werden soll. Es gilt immer : 0 £ w_min < w_max £ 4.
• I_E : Zahl der Einschwing-Iterationen. I_E-mal wird die Rückkopplungsgleichung durchlaufen, ohne daß Pixel gezeichnet werden. Erst ab I_E + 1 Iterationen werden die Pixel gesetzt. I_E darf nicht zu klein gewählt werden, weil die Grafik an Bifurkationspunkten sonst "unscharf" wird. Gerade im Bereich des deterministischen Chaos muß I_E recht groß vorgegeben werden (teilweise größer als 1000, je nach Größe des Ausschnitts).
• N_Gen : Anzahl der nach I_E Einschwing-Iterationen zu berechnenden Generationen. Gezeichnet werden aber nur die Werte für Generationen (Pixel), die im Fenster w_min £ w_max liegen. Das bedeutet, daß N_Gen umso größer gewählt werden muß, je kleiner der gewünschte Ausschnitt für P gesetzt ist, damit die Grafik auch aussagekräftig wird.

Übersichtsbild Verhulst-Dynamik

Das "meiste Geschehen" spielt sich im rechten Viertel des obigen Bildes ab. Dieser Bereich ist im folgenden Bild vergrößert dargestellt :

Ausschnittsvergrößerung Verhulst-Dynamik

Die nachfolgende Grafik zeigt eine Vergrößerung des im oberen Bild rot begrenzten Bereichs. Die w-Achse (Abszisse) wurde zur besseren Übersichtlichkeit gegenüber der Vertikalen gestreckt. Wie zu sehen ist, tritt auch hier wieder das Phänomen der Selbstähnlichkeit auf.

Und noch eine weitere Ausschnittsvergrößerung aus dem Feigenbaum:

Je stärkere Vergrößerungen angefertigt werden sollen, desto mehr Einschwing-Iterationen und desto mehr Generationen müssen durchgeführt werden, damit die Grafik "sauber" aussieht. Im letzten Bild wurde I_E = 2000 und N_Gen = 1000 gewählt.

(Die Grafiken auf dieser Seite wurden mit einer Auflösung von 640x480 Pixeln gerechnet.)

Zurück zu Fraktale und Chemie

Zurück zur Startseite

Kai Schröder, 29.11.2000